若函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f’(x)的零点的个数为( )．

admin2018-09-29 68

问题若函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f’(x)的零点的个数为( )．

选项 A、4
B、3
C、2
D、1

答案B

解析 f’(x)的零点即为f’(x)=0的根，也就是f(x)的驻点．可以直接求f’(x)，令f’(x)=0求解，但运算较复杂．注意到由f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0．在[1，2]，[2，3]，[3，4]上f(x)满足罗尔定理，因此必定存在ξ₁∈(1，2)，ξ₂∈(2，3)，ξ₃∈(3，4)，使得
f’(ξ₁)=f’(ξ₂)=f’(ξ₃)=0，
由于f(x)为四次多项式，f’(x)为三次多项式，因此三次方程f’(x)=0至多有三个实根．故选B．

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