设曲线方程为y=e-x(x≥0)． (Ⅰ)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)；并求满足V(a)=的a值； (Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴围成的平面图形的面积最

admin2016-10-20 63

问题设曲线方程为y=e^-x(x≥0)．
(Ⅰ)把曲线y=e^-x，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)；并求满足V(a)=

的a值；
(Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴围成的平面图形的面积最大，并求出该面积．

选项

答案(Ⅰ)[*] (Ⅱ)在曲线y=e^-x上点[*]处的切线方程是 [*] 它与x轴的交点是(1+x₀，0)，它与y轴的交点是[*]，于是切线与两坐标轴所围平面图形是两直角边长分别为｜1+x₀｜和[*]的直角三角形，其面积为 [*] 令[*]可解出唯一驻点x₀=1，又因[*]，在x₀=1有S’’(1)＜0，故S在x₀=1取得最大值，且maxS=S(1)=[*]．即过曲线y=e^-x(x≥0)上点[*]处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积最大，且该面积是[*]

解析

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考研数学三

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考研数学三

[*]

若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

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