求y"+4y’+4y=eax的通解，其中a为常数；

admin2019-02-20 69

问题求y"+4y’+4y=e^ax的通解，其中a为常数；

选项

答案特征方程是λ²+4λ+4=0，它有相等二实根λ₁=λ₂=－2，所以其对应齐次微分方程的通解为[*]=(C₁+C₂x)e^-2x．非齐次微分方程的特解的形式与a是不是特征根有关．若a≠－2，则应设特解为y^*(x)=Ae^ax，其中A是待定系数．代入方程可得 [*] 所以，当a≠－2时通解为[*]其中C₁与C₂是两个任意常数．若a=－2，由于它是重特征根，则应设特解为y^*=Ax²e^-2x，其中A是待定系数．代入方程可得 A[(2－8x+4x²)+4(2x－2x²)+4x²]e^－2x=e^-2x，即 24e^-2x=e^－2x．于是可得出[*]所以，当a=－2时通解为[*](其中C₁与C₂是两个任意常数)．

解析

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考研数学三

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