求y"+4y’+4y=eax的通解,其中a为常数;

admin2019-02-20  36

问题 求y"+4y’+4y=eax的通解,其中a为常数;

选项

答案特征方程是λ2+4λ+4=0,它有相等二实根λ12=-2,所以其对应齐次微分方程的通解为[*]=(C1+C2x)e-2x.非齐次微分方程的特解的形式与a是不是特征根有关. 若a≠-2,则应设特解为y*(x)=Aeax,其中A是待定系数.代入方程可得 [*] 所以,当a≠-2时通解为[*]其中C1与C2是两个任意常数. 若a=-2,由于它是重特征根,则应设特解为y*=Ax2e-2x,其中A是待定系数.代入方程可得 A[(2-8x+4x2)+4(2x-2x2)+4x2]e-2x=e-2x,即 24e-2x=e-2x. 于是可得出[*]所以,当a=-2时通解为[*](其中C1与C2是两个任意常数).

解析
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