2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=x2－1，函数g(x)=2tlnx，其中t≤1。 如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围。

已知函数f(x)=x2－1，函数g(x)=2tlnx，其中t≤1。 如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围。

admin2017-02-16  5
问题 已知函数f(x)=x2－1，函数g(x)=2tlnx，其中t≤1。
如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围。
选项
答案构造函数h(x)=f(x)-g(x)=x2－1-2tlnx(x>0)，曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点等价于函数h(x)只有一个零点，h’(x)=[*]。分三种情况进行讨论： ①当t≤0时，有h’(x)>0，则h(x)在定义域内为单调递增， 又h(1)=0，故函数h(x)只有一个零点； ②当t=1时，h’(x)=[*]， 易得，在x∈(0，1)时，h’(x)<0；在x∈(1，+∞)时，h’(x)>0。 故函数h(x)在定义域内先减后增，x=1是h(x)的极小值点，也是最小值点， h(1)=0，函数h(x)只有一个零点； ③当0’(x)=[*]， 易得，在x∈(0，[*])时，h’(x)<0；在x∈([*]，+∞)时，h’(x)>0， 故函数h(x)在定义域内先减后增，z=、／丁是h(x)的极小值点，也是最小值点， [*]。
解析
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