导出下列不定积分对于正整数n的递推公式： In=∫(arcsinx)ndx；

admin2022-11-23 45

问题导出下列不定积分对于正整数n的递推公式：
I_n=∫(arcsinx)ⁿdx；

选项

答案I_n=∫(arctanx)ⁿdx[*]∫tⁿdsint=tⁿsint-n∫t^n-1sintdt=tⁿsint+n∫t^n-1dcost =tⁿsint+nt^n-1·cost-n(n-1)∫t^n-2costdt=tⁿsint+nt^n-1cost-n(n-1)I_n-2 =x(arcsinx)ⁿ+n[*](arcsinx)^n-1-n(n-1)I_n-1

解析

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