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已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),离心率为1/2 设P是椭圆上到直线l:x+2y+5=0的距离最小的点,求点P的坐标
已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),离心率为1/2 设P是椭圆上到直线l:x+2y+5=0的距离最小的点,求点P的坐标
admin
2019-12-10
42
问题
已知椭圆
的焦点为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),离心率为1/2
设P是椭圆上到直线l:x+2y+5=0的距离最小的点,求点P的坐标
选项
答案
由椭圆方程[*]与直线方程x+2y+5=0联立的方程组无实数解可知,直线与椭圆不相交, 又因为直线斜率为k=-1/2, 所以与直线l平行且与椭圆相切的切线方程可设为[*], 又因为y
切
与椭圆只有一个交点,所以△=d
2
-4(d
2
-3)=0. 解得d=±2 又因为P是椭圆上到直线的距离最小的点,而原直线在椭圆的左下侧, 所以[*]. 与椭圆联立解得[*]. 故此为切线[*]与椭圆的切点坐标,也是椭圆上距离直线x+2y+5=0距离最小的点.所以P点坐标为(-1,-3/2).
解析
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