已知椭圆的焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，离心率为1/2 设P是椭圆上到直线l：x+2y+5=0的距离最小的点，求点P的坐标

admin2019-12-10 53

问题已知椭圆

的焦点为F₁(-1，0)，F₂(1，0)，离心率为1/2
设P是椭圆上到直线l：x+2y+5=0的距离最小的点，求点P的坐标

选项

答案由椭圆方程[*]与直线方程x+2y+5=0联立的方程组无实数解可知，直线与椭圆不相交，又因为直线斜率为k=-1/2，所以与直线l平行且与椭圆相切的切线方程可设为[*]，又因为y_切与椭圆只有一个交点，所以△=d²-4(d²-3)=0．解得d=±2 又因为P是椭圆上到直线的距离最小的点，而原直线在椭圆的左下侧，所以[*]．与椭圆联立解得[*]．故此为切线[*]与椭圆的切点坐标，也是椭圆上距离直线x+2y+5=0距离最小的点．所以P点坐标为(-1，-3/2)．

解析

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