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设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量,则下列命题中错误的是
设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量,则下列命题中错误的是
admin
2016-07-29
42
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
都是3维非零向量,则下列命题中错误的是
选项
A、如果α
4
不能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则α
1
,α
2
,α
3
线性相关.
B、如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,则α
1
,α
2
,α
4
线性相关.
C、如果α
3
不能用α
1
,α
2
线性表示,α
4
不能用α
2
,α
3
线性表示,则α
1
能用α
2
,α
3
,α
4
线性表示.
D、如果r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
),则α
4
能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
答案
B
解析
只要α
2
,α
3
线性相关,就有α
1
,α
2
,α
3
和α
2
,α
3
,α
4
都线性相关,但推不出α
1
,α
2
,α
4
线性相关.例如α
1
=(1,0,0),α
2
=α
3
=(0,1,0),α
4
=(0,0,1).说明(A),(C)的正确都可根据同一事实:如果3个3维向量线性无关,则任何3维向量都可以用它们线性表示。(A)是其逆否命题.(C):α
2
是非零向量,α
3
不能用α
2
线性表示(因为α
3
不能用α
1
,α
2
线性表示),则α
2
,α
3
线性无关.而α
4
不能用α
2
,α
3
线性表示,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.(D):r(α
2
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
)=r(α
4
,α
1
,α
2
,α
3
),因此α
4
能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示。
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考研数学三
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