设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量,则下列命题中错误的是

admin2016-07-29  42

问题 设α1,α2,α3,α4都是3维非零向量,则下列命题中错误的是

选项 A、如果α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3线性相关.
B、如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,则α1,α2,α4线性相关.
C、如果α3不能用α1,α2线性表示,α4不能用α2,α3线性表示,则α1能用α2,α3,α4线性表示.
D、如果r(α1,α12,α23)=r(α4,α14,α24,α34),则α4能用α1,α2,α3线性表示.

答案B

解析 只要α2,α3线性相关,就有α1,α2,α3和α2,α34都线性相关,但推不出α1,α2,α4线性相关.例如α1=(1,0,0),α23=(0,1,0),α4=(0,0,1).说明(A),(C)的正确都可根据同一事实:如果3个3维向量线性无关,则任何3维向量都可以用它们线性表示。(A)是其逆否命题.(C):α2是非零向量,α3不能用α2线性表示(因为α3不能用α1,α2线性表示),则α2,α3线性无关.而α4不能用α2,α3线性表示,α2,α3,α4线性无关.(D):r(α2,α2,α3)=r(α1,α12,α23)=r(α4,α14,α24,α34)=r(α4,α1,α2,α3),因此α4能用α1,α2,α3线性表示。
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