2. 公务员
  3. 根据给出的教材片段，回答问题． 11．3．2多边形的内角和 思考 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗? 要用

根据给出的教材片段，回答问题． 11．3．2多边形的内角和 思考 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗? 要用

admin2019-01-31  29
问题 根据给出的教材片段，回答问题．
11．3．2多边形的内角和
思考
我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗?
要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°，只要将四边形分成几个三角形即可.

如图11．3—8，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)．
∵  ∠1+∠B+∠3=180°，
∠2+∠4+∠D=180°，
∴  ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°．
即四边形的内角和等于360°．
类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗?
观察图11．3—9，填空：

从五边形的一个顶点出发，可以作_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_______．
从六边形的一个顶点出发，可以作_______条对角线，它们将六边形分为_______个三角形，六边形的内角和等于180°×_______．
通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n—3)条对角线，它们将n边形分为(n—2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n—2)．
这样就得出了多边形内角和公式：
n边形内角和等于(n—2)×180°．
例1  如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?

解：如图11．3—10，在四边形ABCD中，
∠A+∠C=180°．
∵  ∠A+∠B+∠C+∠D=(4—2)×180°
=360°，
∴  ∠B+∠D=360°—(∠A+∠C)
=360°—180°=180°．
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2  如图11．3—11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少?

分析：考虑以下问题：
(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?
(2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少?
(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?
联系这些问题，考虑外角和的求法．
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°．因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°．
这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
6×180°—(6—2)×180°=2×180°=360°．
思考
如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样结果吗？
由上面的思考可以得到：
多边形的外角和等于360°．
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．
如图11．3—12，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

问题：
请对本部分的内容进行分析．
选项
答案本节课是以三角形的内角和知识为基础，通过组织学生观察、类比、推理等数学活动，引导学生探索多边形的内角和公式．通过多种转化方法的探究让学生深刻体验化归思想，以及分类、数形结合的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力和语言表达能力．
解析
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