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根据给出的教材片段,回答问题. 11.3.2多边形的内角和 思考 我们知道,三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于360°.那么,任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗? 要用
根据给出的教材片段,回答问题. 11.3.2多边形的内角和 思考 我们知道,三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于360°.那么,任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗? 要用
admin
2019-01-31
43
问题
根据给出的教材片段,回答问题.
11.3.2多边形的内角和
思考
我们知道,三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于360°.那么,任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗?
要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°,只要将四边形分成几个三角形即可.
如图11.3—8,在四边形ABCD中,连接对角线AC,则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D).
∵ ∠1+∠B+∠3=180°,
∠2+∠4+∠D=180°,
∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.
类比上面的过程,你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗?
观察图11.3—9,填空:
从五边形的一个顶点出发,可以作_______条对角线,它们将五边形分为_______个三角形,五边形的内角和等于180°×_______.
从六边形的一个顶点出发,可以作_______条对角线,它们将六边形分为_______个三角形,六边形的内角和等于180°×_______.
通过以上过程,你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?
一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n—3)条对角线,它们将n边形分为(n—2)个三角形,n边形的内角和等于180°×(n—2).
这样就得出了多边形内角和公式:
n边形内角和等于(n—2)×180°.
例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
解:如图11.3—10,在四边形ABCD中,
∠A+∠C=180°.
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4—2)×180°
=360°,
∴ ∠B+∠D=360°—(∠A+∠C)
=360°—180°=180°.
这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.
例2 如图11.3—11,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
分析:考虑以下问题:
(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?
(2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和是多少?
(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?
联系这些问题,考虑外角和的求法.
解:六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和等于6×180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和,即外角和等于
6×180°—(6—2)×180°=2×180°=360°.
思考
如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数),可以得到同样结果吗?
由上面的思考可以得到:
多边形的外角和等于360°.
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°.
如图11.3—12,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形的各边走过各顶点,再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和,就是多边形的外角和.由于走了一周,所转的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
问题:
请对本部分的内容进行分析.
选项
答案
本节课是以三角形的内角和知识为基础,通过组织学生观察、类比、推理等数学活动,引导学生探索多边形的内角和公式.通过多种转化方法的探究让学生深刻体验化归思想,以及分类、数形结合的思想,从特殊到一般的认识问题的方法,发展学生合情推理能力和语言表达能力.
解析
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