2. 考研
  3. 已知α1 ，α2 ，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解，其中 2α1一α2=[0，2，2，2]T ， α1+α2+α3=[4，一1，2，3]T ， 2α2+α3=[5，一1，0，1]T ， 秩(A)=2，那么方程组AX=b的通解是________．

已知α1 ，α2 ，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解，其中 2α1一α2=[0，2，2，2]T ， α1+α2+α3=[4，一1，2，3]T ， 2α2+α3=[5，一1，0，1]T ， 秩(A)=2，那么方程组AX=b的通解是________．

admin2016-12-16  43
问题 已知α1 ，α2 ，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解，其中
2α1一α2=[0，2，2，2]T ，
α1+α2+α3=[4，一1，2，3]T ，
2α2+α3=[5，一1，0，1]T ，
秩(A)=2，那么方程组AX=b的通解是________．
选项
答案[0，2，2，2]T+k1[一1，0，2，2]T+k2[一5，7，6，5]T
解析 利用方程组解的结构及其性质求之．
因为n一r(A)=4一2=2，所以方程组AX=b的通解形式为
a+k1η1+k2η2 ，
其中α为AX=b的特解，η1 ，η2为AX=0的基础解系．
因此，下面应求出AX=b的一个解及AX=0的两个线性无关的解．
根据解的性质知，
2α1一α2=α1+(α1一α2)一[0，2，2，2]r是AX=b的解，而
(α1+α2+α3)一(2α2+α3)=α1一α2=[一1，0，2，2]r
是AX=0的解．
3(2α1一α2)一(2α2+α3)=5(α1一α2)+(α1一α3)=[一5，7，6，5]r
是AX=0的解．显然[一1，0，2，2]r与[一5，7，6，5]r线性无关(对应分量不成比例)．
因此，方程组AX=b的通解为
[0，2，2，2]T+k1[一1，0，2，2]T+k2[一5，7，6，5]T ，其中k1 ，k2为任意常数．
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考研数学三

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