设A为n阶矩阵,对于齐次线性方程(I)An=0和(Ⅱ)An+1x=0,则必有

admin2014-04-10  35

问题 设A为n阶矩阵,对于齐次线性方程(I)An=0和(Ⅱ)An+1x=0,则必有

选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解,(I)的解也是(Ⅱ)的解.
B、(I)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(I)的解.
C、(Ⅱ)的解是(I)的解,但(I)的解不是(Ⅱ)的解.
D、(I)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(I)的解.

答案A

解析 若α是(I)的解,即Anα=0,显然An+1α=A(Anα=AO=0,即α必是(Ⅱ)的解.可排除C和D.若η是(Ⅱ)的解,即An+1η=0.假若η不是(I)的解,即Anη≠0,那么对于向量组η,Aη,Anη,…,Anη,一方面这是n+1个n维向量必线性相关;另一方面,若kη+k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0,用An左乘上式,并把An+1η=0,An+2η=0,…,代入,得kAnη=0.由于Anη≠0,必有k=0.对k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0,用An-1左乘上式可推知k1=0.类似可知ki=0(i=2,3,…,n).于是向量组η,Aη,A2η,…,Anη线性无关,两者矛盾.所以必有Anη=0,即(Ⅱ)的解必是(I)的解.由此可排除B.故应选A.
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