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设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )。
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )。
admin
2017-09-18
27
问题
设λ
1
，λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，则α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是( )。
选项
A、λ
1
=0
B、λ
2
=0
C、λ
1
≠0
D、λ
2
≠0
答案
D
解析
由题意可知Aα
1
=λ
1
α
1
，Aα
2
=λ
2
α
2
，
①充分性：若α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关，A(α
1
+α
2
)=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
，若λ
2
=0，α
1
与A(α
1
+α
2
)共线，则线性相关，与条件不符，故λ
2
≠0；
②必要性：当λ
2
≠0时，若k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=k
1
α
1
+k
2
(λ
1
α
1
+λ
2
α
2
)=(k
1
+k
2
λ
1
)α
1
+k
2
λ
2
α
2
=0，则必有k
1
+k
2
λ
1
=0且k
2
=0，即k
1
=k
2
=0，故α
1
与A(α
1
+α
2
)是线性无关的。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FRtv777K
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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