2. 自考
  3. 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2016-07-11  130
问题 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
选项
答案证明：因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B，所以B是n阶实对称矩阵，构造二次型xTBx，那么 xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)． [*]≠0，恒有xTx＞0，(Ax)T(Ax)≥0，因此，λ＞0时，[*]≠0，有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0． 二次型为正定型，故B为正定矩阵．
解析
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