设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.

admin2016-07-11  94

问题 设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.

选项

答案证明:因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B,所以B是n阶实对称矩阵,构造二次型xTBx,那么 xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax). [*]≠0,恒有xTx>0,(Ax)T(Ax)≥0,因此,λ>0时,[*]≠0,有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)>0. 二次型为正定型,故B为正定矩阵.

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FlyR777K
0

最新回复(0)