2. 考研
  3. 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0． (1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0． (1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

admin2016-09-13  102
问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0．
(1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)ecosx的通解；
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．
选项
答案本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考生在考场上的难点，请复习备考的学生重视． (1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e－∫sinxdx[∫φ(x)ecosxesinxdxdx+C] =ecosx[∫φ(x)ecosx.e－cosxdx+C] =ecosx[∫φ(x)dx+C]=ecosx[Ф(x)+C](其中C为任意常数)． (2)因为Фˊ(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1．又Ф(0)=0，于是，Ф(x)=∫0xφ(t)dt．而Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫02πφ(t)dt，所以，当∫02πφ(t)dt=0时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期． 因此，当∫02πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
解析
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考研数学三

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