设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0． (1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

admin2016-09-13 30

问题设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0．
(1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)e^cosx的通解；
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

选项

答案本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考生在考场上的难点，请复习备考的学生重视． (1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e^－∫sinxdx[∫φ(x)e^cosxe^sinxdxdx+C] =e^cosx[∫φ(x)e^cosx.e^－cosxdx+C] =e^cosx[∫φ(x)dx+C]=e^cosx[Ф(x)+C](其中C为任意常数)． (2)因为Фˊ(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫₀^xφ(t)dt+C₁．又Ф(0)=0，于是，Ф(x)=∫₀^xφ(t)dt．而Ф(x+2π)=∫₀^x+2πφ(t)dt=∫₀^xφ(t)dt+∫_x^x+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫₀^2πφ(t)dt，所以，当∫₀^2πφ(t)dt=0时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期．因此，当∫₀^2πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．

解析

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考研数学三

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设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0． (1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

考研数学三

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