2. 自考
  3. 若函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则 【 】

若函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则 【 】

admin2020-07-01  42
问题 若函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则    【    】
选项 A、至少存在一点ξ∈(a，b)，使fˊ(ξ)=0
B、至少存在一点ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0
C、只存在一点ξ∈(a，b)，使fˊ(ξ)=0
D、不一定存在ξ∈(a，b)，使fˊ(ξ)=0
答案D
解析 令f(x)=sinx，则f(x)在(0，2π)内可导，且f(0)=f(2π)=0，f′(x)=cosx=0，所以排除选项C；
令f(x)=x2+1，在（—2，2）内f(x)可导，且f(-2=f(2)，但不存在ξ∈（—2，2）使得f(ξ)=0，排除选项B；
令f(x)=
显然，f(x)在（0，2）上可导，

所以f(x)在x=2处不连续，且有f(2)=0=f(0)，满足题设条件，但在（0，2）上f′(x)=1，不为零，所以在（0，2）上不存在点ξ，使f(ξ)=0，排除选项A．[img][/img]
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