要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器,其侧面与上底面用一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米的价格为1元,问该容积的底面半径r与高h各为多少时,造这个容器所用的材料费用最少?

admin2015-06-14  30

问题 要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器,其侧面与上底面用一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米的价格为1元,问该容积的底面半径r与高h各为多少时,造这个容器所用的材料费用最少?

选项

答案设S为材料费用函数,则S=2πrh+兀r2+3πr2, 且满足条件πr2h=32π, [*] 令S’(r)=0,得驻点r=2。 因S"(2)=24π>0,且驻点唯一,所以r=2为S(r)的最小值点,此时 [*] 所以r=2厘米,h=8厘米时,材料费用最省。

解析 本题为利用导数求最值问题。
求最大值与最小值的一般方法是:
(1)求出f(x)在(a,b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点:x1,…xk
(2)求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b处的函数值:f(x1),…,f(xk),f(a),f(b)进行比较,其中最大的数即为y=f(x)在[a,b]上的最大值,相应的z的取值即为f(z)在[a,b]上的最大值点,而其中最小的数值即为f(x)在[a,b]上的最小值,相应的x的取值即为f(x)在[a,b]上的最小值点。
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