设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex一1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之

admin2017-10-23 97

问题设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤e^x一1；
(Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e^x一1分别交于点P₂和P₁；
(Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P₁P₂之长．求函数f(x)的表达式．

选项

答案如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 S=∫₀^xf(t)dt，｜P₁P₂｜=e^x一1一f(x)．于是，函数f(x)满足方程∫₀^xf(t)dt=e^x一1一f(x)． [*] 由f(x)及e^x连续知变上限定积分∫₀^xf(t)dt可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导并令x=0，得 f(x)=e^x—f’(x)，f(0)=0(与题设一致) 又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y’+y=e^x满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 f(x)=[*](e^x一e^—x)．

解析

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考研数学三

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设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex一1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之

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