2. 考研
  3. 设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex一1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之

设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex一1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别交于点P2和P1； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之

admin2017-10-23  43
问题 设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤ex一1；
    (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别交于点P2和P1；
    (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之长．求函数f(x)的表达式．
选项
答案如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 S=∫0xf(t)dt， ｜P1P2｜=ex一1一f(x)． 于是，函数f(x)满足方程∫0xf(t)dt=ex一1一f(x)． [*] 由f(x)及ex连续知变上限定积分∫0xf(t)dt可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导并令x=0，得 f(x)=ex—f’(x)，f(0)=0(与题设一致) 又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y’+y=ex满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得 f(x)=[*](ex一e—x)．
解析
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考研数学三

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