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设α1，α2，…，αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…，αi-1线性表示，求证：α1，α2，…，αm线性无关．
设α1，α2，…，αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…，αi-1线性表示，求证：α1，α2，…，αm线性无关．
admin
2011-10-28
31
问题
设α
1
，α
2
，…，α
m
为一个向量组，且α
1
≠θ，每一个向量α
i
(i>1)都不能由α
1
，α
2
，…，α
i-1
线性表示，求证：α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关．
选项
答案
证明 用定义证明．假设存在一组数k
1
，k
2
，…，k
m
使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=θ， 若k
1
，k
2
，…，k
m
全为零，显然α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关；若k
1
，k
2
，…，k
m
不全为零，对k
1
，k
2
，…，k
m
从右向左看，设第一个不为零的数为k
i
，即k
i
≠0，k
i+1
=0，…，k
m
=0，于是有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i
α
i
=θ．若i=1，则k
1
α
1
=θ，从而α
1
=θ，与α
1
≠θ矛盾；若i≠1，则α
i
=-(1/k
i
)(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i-1
α
i-1
)，与每一个向量α
i
(i>1)都不能由α
1
，α
2
，…，α
i-1
线性表示矛盾，因此，k
1
，k
2
，…，k
m
必须全为零，这说明α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关．
解析
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考研数学三
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