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设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,又 证明:(1)F′(x)≥2; (2)F(x)=0在[a,b]内有且仅有一个实根.
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,又 证明:(1)F′(x)≥2; (2)F(x)=0在[a,b]内有且仅有一个实根.
admin
2016-01-25
65
问题
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,又
证明:(1)F′(x)≥2;
(2)F(x)=0在[a,b]内有且仅有一个实根.
选项
答案
(1) F′(x)=f(x)+[*], 由于[f(x)一1]
2
≥0,有f
2
(x)+1≥2f(x),于是F′(x)≥2? (2)因F′(x)≥2,故F(x)在[a,b]上单调增加,所以F(x)=0在[a,b]上至多有一个实根,又 F(a)=[*]dx<0,F(b)=[*]dx>0 由介值定理知,F(x)在[a,b]上至少有一个实根. 综上所述,F(x)在[a,b]上有且仅有一个实根.
解析
(1)利用不等式a
2
+b
2
≥2ab 证之;
(2)利用F(a)<0,F(b)>0及介值定理证之.
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考研数学三
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