2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，又 证明：(1)F′(x)≥2； (2)F(x)＝0在[a，b]内有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，又 证明：(1)F′(x)≥2； (2)F(x)＝0在[a，b]内有且仅有一个实根．

admin2016-01-25  51
问题 设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，又

证明：(1)F′(x)≥2；  
(2)F(x)＝0在[a，b]内有且仅有一个实根．
选项
答案(1) F′(x)＝f(x)＋[*]， 由于[f(x)一1]2≥0，有f2(x)＋1≥2f(x)，于是F′(x)≥2? (2)因F′(x)≥2，故F(x)在[a，b]上单调增加，所以F(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根，又 F(a)＝[*]dx＜0，F(b)＝[*]dx＞0 由介值定理知，F(x)在[a，b]上至少有一个实根． 综上所述，F(x)在[a，b]上有且仅有一个实根．
解析 (1)利用不等式a2＋b2≥2ab 证之；
(2)利用F(a)＜0，F(b)＞0及介值定理证之．
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考研数学三

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