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设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1。是它的n-r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1。是它的n-r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
admin
2017-01-14
54
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n-r+1
。是它的n-r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
,其中k
1
+…+k
n-r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
-η
1
,ξ
2
=η
3
-η
1
,…,ξ
n-r
=η
n-r+1
-η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n-r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n-r
ξ
n-r
=0, 即 l
1
(η
2
-η
1
)+l
2
(η
3
-η
1
)+…+l
n-r
(η
n-r
-η
1
)=0, 也即 -(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n-r
η
n-r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关知 -(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)=l
1
=l
2
=…=l
n-r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n-r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x-η
2
为Ax=0的解,因此x-η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,设 x-η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r
=k
2
(η
2
-η
1
)+k
3
(η
3
-η
1
)+…+k
n-r+1
(η
n-r+1
-η
1
), 则 x=η
1
(1-k
2
-k
3
-…-k
n-r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
, 令k
1
=1-k
2
-k
3
-…-k
n-r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n-r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
恒成立。
解析
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考研数学一
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