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已知n阶矩阵A满足A3=E. (1)证明A2-2A-3E可逆. (2)证明A2+A+2E可逆.
已知n阶矩阵A满足A3=E. (1)证明A2-2A-3E可逆. (2)证明A2+A+2E可逆.
admin
2017-06-08
56
问题
已知n阶矩阵A满足A
3
=E.
(1)证明A
2
-2A-3E可逆.
(2)证明A
2
+A+2E可逆.
选项
答案
通过特征值来证明,矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值. 由于A
3
=B,A的特征值都满足λ
3
=1. (1)A
2
-2A-3E=(A-E)(A+E),3和-1都不满足λ
3
=1,因此都不是A的特征值.于是(A-3E)和(A+E)都可逆,从而A
2
-2A-3E可逆. (2)方法一 设A的全体特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则A
2
+A+2E的特征值λ
i
2
+λ
i
+2,i=1,2,…,n. 由于λ
i
3
=1,λ
i
或者为1,或者满足λ
i
2
+λ
i
+1=0.于是λ
i
2
+λ
i
+2或者为4,或者为1,总之都不是0.因此A
2
+A+2E可逆. 方法二 A(A
2
+A+2E)=A
3
+A
2
+2A=E+A
2
+2A=(A+E)
2
. 由于A
3
=E,每个特征值λ都满足λ
3
=1,于是-1不是A的特征值,即A+E可逆,从而A
2
+A+2E可逆.
解析
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考研数学二
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