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  3. 已知n阶矩阵A满足A3=E． (1)证明A2－2A－3E可逆． (2)证明A2+A+2E可逆．

已知n阶矩阵A满足A3=E． (1)证明A2－2A－3E可逆． (2)证明A2+A+2E可逆．

admin2017-06-08  58
问题 已知n阶矩阵A满足A3=E．
(1)证明A2－2A－3E可逆．
(2)证明A2+A+2E可逆．
选项
答案通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值． 由于A3=B，A的特征值都满足λ3=1． (1)A2－2A－3E=(A－E)(A+E)，3和－1都不满足λ3=1，因此都不是A的特征值．于是(A－3E)和(A+E)都可逆，从而A2－2A－3E可逆． (2)方法一 设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2+A+2E的特征值λi2+λi+2，i=1，2，…，n． 由于λi3=1，λi或者为1，或者满足λi2+λi+1=0．于是λi2+λi+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2+A+2E可逆． 方法二 A(A2+A+2E)=A3+A2+2A=E+A2+2A=(A+E)2． 由于A3=E，每个特征值λ都满足λ3=1，于是－1不是A的特征值，即A+E可逆，从而A2+A+2E可逆．
解析
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考研数学二

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