设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： A2=A的充要条件是ξTξ=1；

admin2012-05-18 162

问题设A=E-ξξ^T，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．
证明：
A²=A的充要条件是ξ^Tξ=1；

选项

答案A²=(E-ξξ^T)(E-ξξ^T)=E-2ξξ^T+ξξ^Tξξ^T =E-ξξ^T+ξ(ξ^Tξ)ξ^T-ξξ^T=A+(ξ^Tξ)ξξ^T-ξξ^T，那么A²=A≡(ξ^Tξ-1)ξξ^T=0．因为ξ是非零列向量，ξξ^T≠0，故A²=A≡ξ^Tξ-1=0即ξ^Tξ=1．

解析

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