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  3. (08年)设f(x)是连续函数， (I)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x)； (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．

(08年)设f(x)是连续函数， (I)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x)； (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．

admin2017-04-20  31
问题 (08年)设f(x)是连续函数，
(I)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x)；
(Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．
选项
答案(I)对任意的x，由于f是连续函数，所以 [*] 其中ξ介于x与x+△x之间． 由[*]，可知函数F(x)在x处可导，且F’(x)=f(x)． (Ⅱ)要证明G(x)以2为周期，即要证明对任意的x，都有G(x+2)=G(x)，记H(x)=G(x+2)一G(x)，则 H’(x)=(2∫0x+2f(t)dt-(x+2)∫02f(t)dt)’一(2∫0xd(t)dt-x∫0
解析
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考研数学一

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