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(08年)设f(x)是连续函数, (I)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导,且F’(x)=f(x); (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
(08年)设f(x)是连续函数, (I)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导,且F’(x)=f(x); (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
admin
2017-04-20
21
问题
(08年)设f(x)是连续函数,
(I)利用定义证明函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt可导,且F’(x)=f(x);
(Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫
0
x
f(t)dt一x∫
0
2
f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
选项
答案
(I)对任意的x,由于f是连续函数,所以 [*] 其中ξ介于x与x+△x之间. 由[*],可知函数F(x)在x处可导,且F’(x)=f(x). (Ⅱ)要证明G(x)以2为周期,即要证明对任意的x,都有G(x+2)=G(x),记H(x)=G(x+2)一G(x),则 H’(x)=(2∫
0
x+2
f(t)dt-(x+2)∫
0
2
f(t)dt)’一(2∫
0
x
d(t)dt-x∫
0
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ggu4777K
0
考研数学一
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