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已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0。又f(1)=一2。 (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)在区间[一3,3]上的最大值; (3)解关于x的不等式f(ax2)一2f(x)<f(ax)+4。
已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0。又f(1)=一2。 (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)在区间[一3,3]上的最大值; (3)解关于x的不等式f(ax2)一2f(x)<f(ax)+4。
admin
2015-12-04
12
问题
已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0。又f(1)=一2。
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)在区间[一3,3]上的最大值;
(3)解关于x的不等式f(ax
2
)一2f(x)<f(ax)+4。
选项
答案
(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0;取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(一x),所以对任意x∈R,有f(-x)=一f(x)恒成立,因此f(x)为奇函数。 (2)任取x
1
,x
2
∈R且x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
>0.因此f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
一x
1
)<0,故f(x
2
)<一f(-x
1
)。又f(x)为奇函数,则f(x
1
)>f(x
2
),f(x)在R上是减函数。所以对任意x∈[一3,3],恒有f(x)≤f(一3),而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=一2×3=一6,f(一3)=一f(3)=6,故f(x)在[一3,3]上的最大值为6。 (3)因f(x)为奇函数,整理原式得f(ax
2
)+f(一2x)<f(ax)+f(一2),进一步得f(ax
2
一2x)<f(ax一2),而f(x)在R上是减函数,则ax
2
-2x>ax一2,故(ax一2)(x一1)>0。因此当a=0时,x∈(一∞,1);当a=2时,x∈{x|x≠1且x∈R);当a<0,[*]
解析
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