2. 考研
  3. 设f(x)=1／(1-x-x2)，记an=f(n)(0)／n!(n=0，1，2，…)。 (1)证明a0=a1=1，an+2=an+1+an，n=0，1，2，…； (2)求级数的和。

设f(x)=1／(1-x-x2)，记an=f(n)(0)／n!(n=0，1，2，…)。 (1)证明a0=a1=1，an+2=an+1+an，n=0，1，2，…； (2)求级数的和。

admin2021-04-16  95
问题 设f(x)=1／(1-x-x2)，记an=f(n)(0)／n!(n=0，1，2，…)。
    (1)证明a0=a1=1，an+2=an+1+an，n=0，1，2，…；
    (2)求级数的和。
选项
答案(1)法一：a0=f(0)=1，a1=f’(0)=[(1+2x)／(1-x-x2)2]｜x=0=1，当n≥2时，对(1-x-x2)f(x)=1两边求n阶导数，并由莱布尼茨高阶求导公式，有 Cn0f(n)(x)+Cn1(-1-2x)f(n-1)(x)-2Cn2f(n-2)(x)=0， 将x=0代入上式，整理得 f(n)(0)-nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)=0，除以n!，于是 (1／n!)f(n)(0)-[1／(n-1)!]f(n-1)(0)-[1／(n-2)!]f(n-2)(0)=0，即an=an-1+an-2，n=2，3，4，… [*] 由待定系数法，有a0=a1=1，an=an-1+an-1，n=2，3，4，… (2)a3=a1+a0=2≥2，a3=a2+a1=3≥3，易知an≥n，n=0，1，2，…，故 [*] =1／a0+1／a1+1／an+1+1／an+2=2-1／an+1-1／an+2 [*]
解析
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考研数学三

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