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设f(x)=1/(1-x-x2),记an=f(n)(0)/n!(n=0,1,2,…)。 (1)证明a0=a1=1,an+2=an+1+an,n=0,1,2,…; (2)求级数的和。
设f(x)=1/(1-x-x2),记an=f(n)(0)/n!(n=0,1,2,…)。 (1)证明a0=a1=1,an+2=an+1+an,n=0,1,2,…; (2)求级数的和。
admin
2021-04-16
44
问题
设f(x)=1/(1-x-x
2
),记a
n
=f
(n)
(0)/n!(n=0,1,2,…)。
(1)证明a
0
=a
1
=1,a
n+2
=a
n+1
+a
n
,n=0,1,2,…;
(2)求级数
的和。
选项
答案
(1)法一:a
0
=f(0)=1,a
1
=f’(0)=[(1+2x)/(1-x-x
2
)
2
]|
x=0
=1,当n≥2时,对(1-x-x
2
)f(x)=1两边求n阶导数,并由莱布尼茨高阶求导公式,有 C
n
0
f
(n)
(x)+C
n
1
(-1-2x)f
(n-1)
(x)-2C
n
2
f
(n-2)
(x)=0, 将x=0代入上式,整理得 f
(n)
(0)-nf
(n-1)
(0)-n(n-1)f
(n-2)
(0)=0,除以n!,于是 (1/n!)f
(n)
(0)-[1/(n-1)!]f
(n-1)
(0)-[1/(n-2)!]f
(n-2)
(0)=0,即a
n
=a
n-1
+a
n-2
,n=2,3,4,… [*] 由待定系数法,有a
0
=a
1
=1,a
n
=a
n-1
+a
n-1
,n=2,3,4,… (2)a
3
=a
1
+a
0
=2≥2,a
3
=a
2
+a
1
=3≥3,易知a
n
≥n,n=0,1,2,…,故 [*] =1/a
0
+1/a
1
+1/a
n+1
+1/a
n+2
=2-1/a
n+1
-1/a
n+2
[*]
解析
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考研数学三
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