2. 考研
  3. 设α，β是三维单位正交列向量，令A=αβT+βαT．证明： (1) |A|=0； (2)α+β，α一β是A的特征向量； (3)A相似于对角阵，并写出该对角阵．

设α，β是三维单位正交列向量，令A=αβT+βαT．证明： (1) |A|=0； (2)α+β，α一β是A的特征向量； (3)A相似于对角阵，并写出该对角阵．

admin2019-07-10  117
问题 设α，β是三维单位正交列向量，令A=αβT+βαT．证明：
(1) |A|=0；
(2)α+β，α一β是A的特征向量；
(3)A相似于对角阵，并写出该对角阵．
选项
答案(1)A为三阶矩阵， r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)≤r(α)+r(β)≤2＜3， 故|A|=0． (2)因α，β为三维单位正交向量，故 αTα=1，βTβ=1，βαT=βαT=0． 当然α，β线性无关，又α，β为单位向量，α+β≠0，故 A(α+β)=(αβT+βαT)(α+β)=αβTα+αβTβ+βαT α+βαTβ =α．0+α．1+β．1+β．0=α+β， 即a+β为A的对应于特征值λ1=1的特征向量．同法可求 A(α一β)=(αβT+βαT)(α一β)=αβTa一αβTβ+βαTα一βα Tβ =α．0一α．1+β．1一β．0=一(α一β)， 故α一β为A的对应于特征值λ2=一1的特征向量。 设另一特征值为λ3 ，由|A|=0得到|A|=λ1λ2λ3=0，故λ3=0． (3)因A有3个不同特征值，故A～A=diag(0，1，一1)，即其相似对角矩阵为 A=diag(0，1，一1) (diag为对角矩阵的英文简写)．
解析 (1)利用r(B+C)≤r(B)+r(C)，r(BC)≤min{r(B)，r(C)}，证明r(A)＜3；
(2)利用特征向量的定义，即利用A(α+β)=k(α+β)，A(α一β)=C(a一β)证之；
(3)证明A有3个不同的特征值即可。
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考研数学三

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