首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3,令β=ξ1+ξ2+ξ3. (Ⅰ)证明:β不是A的特征向量; (Ⅱ)证明:向量组β,Aβ,A2β线性无关.
设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3,令β=ξ1+ξ2+ξ3. (Ⅰ)证明:β不是A的特征向量; (Ⅱ)证明:向量组β,Aβ,A2β线性无关.
admin
2016-07-22
54
问题
设A是3阶矩阵,λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
.
(Ⅰ)证明:β不是A的特征向量;
(Ⅱ)证明:向量组β,Aβ,A
2
β线性无关.
选项
答案
(I)已知Aβ=A(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
. 若β是A的特征向量,假设对应的特征值为μ,则有 Aβ=μβ=μ(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
, 从而得(μ-λ
1
)ξ
1
+(μ-λ
2
)ξ
2
+(μ-λ
3
)ξ
3
=0. ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
是不同特征值对应的特征向量,由定理知ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关,从而得λ
1
=λ
2
=λ
3
=μ,这和λ
1
,λ
2
,λ
3
互不相同矛盾.故β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量. (Ⅱ)用线性无关的定义证. 假设存在数k
1
,k
2
,k
3
使得 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0. 由β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
及Aξ
i
=λ
i
ξ
i
,i=1,2,3,代入得 k
1
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)+k
2
(λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
)+k
3
([*])=0, 整理得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
[*])ξ
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
[*])ξ
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
[*])ξ
3
=0. 因ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关,上式成立当且仅当 [*] 又λ
i
(i=1,2,3)互不相同,故方程组(*)的系数矩阵的行列式 [*]=(λ
3
-λ
2
)(λ
3
-λ
1
)(λ
2
-λ
1
)≠0, 故方程组(*)仅有零解,即k
1
=k
2
=k
3
=0,所以β,Aβ,A
2
β线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GqbD777K
0
考研数学二
相关试题推荐
儒家是中国古代最有影响的学派,是由孔子创立的,后来逐步发展为以仁为核心的思想体系。儒家思想的经典著作很多,下列不是儒家经典的是()。
两工厂各加工480件产品,甲工厂每天比乙工厂多加工4件,完成任务所需时间比乙工厂少10天,设甲工厂每天加工产品x件,则x满足的方程为()。
有确凿的证据显示,偏头痛(严重的周期性头痛)不是由于心理上的原因引起的,而是完全由生理上的原因所致,然而,数项研究结果表明那些因为偏头痛受到专业化治疗的人患有标准心理尺度的焦虑症的比率比那些没经专业治疗的偏头痛患者的高。下面哪一项如果正确,最能有助于解决
2006年全国A股成交金额比2005年增长( )下列关于2001~2006年我国上市公司数目、上市股票数目,A股上市股票数目、B股上市股票数目年平均增长速度(顺次记为V1、V2、V3、V4)的比较正确的是( )
如图所示,X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上,总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?
已知累次积分I=(rcosθ,rsinθ)rdr,其中a>0为常数,则I可写成
设xOy平面的第一象限中有曲线Γ:y=y(x),过点y′(x)>0.又M(x,y)为Γ上任意一点,满足:弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为(Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件;(Ⅱ)求曲线Γ的表达式.
求微分方程满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解,其中常数k>0。
已知η是非齐次线性方程组Aχ=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次线性方程组Aχ=0的基础解系.证明:(Ⅰ)η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r,是Aχ=b的n-r+1个线性无关解;(Ⅱ)方程组Aχ=b的任一个解均可由η
随机试题
宋代文艺创作成就最为全面的作家是________。
高血压性脑出血大多发生在
根据我国仲裁法和民事诉讼法的规定,出现下列哪些情形时,人民法院对仲裁裁决不予执行?()。
火场逃生中,哪项是不正确的方法()
采用直接分配法分配辅助生产费用时,要考虑各辅助生产车间相互提供产品或劳务的情况。()
Onereactiontoalltheconcernabouttropicaldeforestationisablankstarethatasksthequestion,"SinceIdon’tliveint
西双版纳植物园种有两种樱草,一种自花授粉,另一种非自花授粉,即须依靠昆虫授粉。近几年来,授粉昆虫的数量显著减少。另外,一株非自花授粉的樱草所结的种子比自花授粉的要少。显然,非自花授粉樱草的繁殖条件比自花授粉的要差。但是游人在植物园多见的是非自花授粉樱草而不
劳动力的价值内在构成包括
To:SecurityguardsFrom:MichaelReni,BuildingSecurityHeadSubject:SecurityInspectionsTherehavebeenseveralinstancesw
Thedamagetohiscarwas______;therefore,hecouldrepairithimself.
最新回复
(
0
)