2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． (Ⅰ)证明：β不是A的特征向量； (Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．

设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． (Ⅰ)证明：β不是A的特征向量； (Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．

admin2016-07-22  51
问题 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．
(Ⅰ)证明：β不是A的特征向量；
(Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．
选项
答案(I)已知Aβ=A(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3． 若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有 Aβ=μβ=μ(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3， 从而得(μ－λ1)ξ1+(μ－λ2)ξ2+(μ－λ3)ξ3=0． ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，从而得λ1=λ2=λ3=μ，这和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β=ξ1+ξ2+ξ3不是A的特征向量． (Ⅱ)用线性无关的定义证． 假设存在数k1，k2，k3使得 k1β+k2Aβ+k3A2β=0． 由β=ξ1+ξ2+ξ3及Aξi=λiξi，i=1，2，3，代入得 k1(ξ1+ξ2+ξ3)+k2(λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3)+k3([*])=0， 整理得 (k1+k2λ1+k3[*])ξ1+(k1+k2λ2+k3[*])ξ2+(k1+k2λ3+k3[*])ξ3=0． 因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，上式成立当且仅当 [*] 又λi(i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式 [*]=(λ3－λ2)(λ3－λ1)(λ2－λ1)≠0， 故方程组(*)仅有零解，即k1=k2=k3=0，所以β，Aβ，A2β线性无关．
解析
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考研数学二

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