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设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． (Ⅰ)证明：β不是A的特征向量； (Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． (Ⅰ)证明：β不是A的特征向量； (Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．
admin
2016-07-22
55
问题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
．
(Ⅰ)证明：β不是A的特征向量；
(Ⅱ)证明：向量组β，Aβ，A
2
β线性无关．
选项
答案
(I)已知Aβ=A(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
． 若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有 Aβ=μβ=μ(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
， 从而得(μ－λ
1
)ξ
1
+(μ－λ
2
)ξ
2
+(μ－λ
3
)ξ
3
=0． ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，从而得λ
1
=λ
2
=λ
3
=μ，这和λ
1
，λ
2
，λ
3
互不相同矛盾．故β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量． (Ⅱ)用线性无关的定义证． 假设存在数k
1
，k
2
，k
3
使得 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0． 由β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
及Aξ
i
=λ
i
ξ
i
，i=1，2，3，代入得 k
1
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)+k
2
(λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
)+k
3
([*])=0， 整理得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
[*])ξ
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
[*])ξ
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
[*])ξ
3
=0． 因ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，上式成立当且仅当 [*] 又λ
i
(i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式 [*]=(λ
3
－λ
2
)(λ
3
－λ
1
)(λ
2
－λ
1
)≠0， 故方程组(*)仅有零解，即k
1
=k
2
=k
3
=0，所以β，Aβ，A
2
β线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GqbD777K
0
考研数学二
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