设平面闭区域D由x=0，y=0，x+y=1／2，x+y=1所围成。I1=[sin(x+y)]3dxdy。则I1，I2，I3之间的关系应是：

admin2016-07-31 38

问题设平面闭区域D由x=0，y=0，x+y=1／2，x+y=1所围成。I₁=

[sin(x+y)]³dxdy。则I₁，I₂，I₃之间的关系应是：

选项 A、I₁＜I₂＜I₃
B、I₁＜I₃＜I₂
C、I₃＜I₂＜I₁
D、I₃＜I₁＜I₂

答案B

解析为了观察方便，做出平面区域D的图形(见解图)，区域D在直线x+y=1的下方，在直线x+y=1／2上方以及由直线x=0，y=0围成。积分区域D上的点满足1／2≤x+y≤1。

故ln(x+y)≤0，[ln(x+y)]³≤0
由三角函数知识，当0＜x＜π／2时，sinx＜x，而D上的点满足1／2≤x+y≤1，也即满足条件0＜(x+y)＜π／2。
故0＜sin(x+y)＜x+y，0＜sin(x+y)³＜(x+y)³
所以平面区域D上的点满足：
[ln(x+y)]³＜[sin(x+y)]³＜(x+y)³
由二重积分性质：

(x+y)³dxdy。

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