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设f(x)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f’(x)-f(x)=a(x-1),y=f(x),x=0,x=1,y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(x).
设f(x)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f’(x)-f(x)=a(x-1),y=f(x),x=0,x=1,y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(x).
admin
2022-11-02
57
问题
设f(x)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f’(x)-f(x)=a(x-1),y=f(x),x=0,x=1,y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(x).
选项
答案
由f’(x)-f(x)=a(x-1)得f(x)=[a∫(x-1)e
∫-1dx
dx+C]e
-∫-dx
=Ce
x
-ax,由f(0)=1得C=1,故f(x)=e
x
-ax.V(a)=π∫
0
1
f
2
(x)dx=π((e
2
-1)/2-2a+a
2
/3),由V’(a)=π(-2+2a/3)=0得a=3,因为V"(a)=2π/3>0,所以当a=3时,旋转体的体积最小,故f(x)=e
x
-3x.
解析
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考研数学三
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