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  3. 等比数列是高中数列学习的重要内容之一。它与我们日常生活、生产和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在资产折旧、贷款利率的计算等方面。针对“等比数列”的教学，请完成下面的任务： 根据拟定的教学目标，设计一个探索、发现等比数列及通项公式的教学过程，并说明设计意图

等比数列是高中数列学习的重要内容之一。它与我们日常生活、生产和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在资产折旧、贷款利率的计算等方面。针对“等比数列”的教学，请完成下面的任务： 根据拟定的教学目标，设计一个探索、发现等比数列及通项公式的教学过程，并说明设计意图

admin2022-08-12  21
问题 等比数列是高中数列学习的重要内容之一。它与我们日常生活、生产和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在资产折旧、贷款利率的计算等方面。针对“等比数列”的教学，请完成下面的任务：
根据拟定的教学目标，设计一个探索、发现等比数列及通项公式的教学过程，并说明设计意图。
选项
答案教学过程 一、创设情境 教师出示以下实例： 1．人体中的某种细胞经过细胞分裂可以由一个细胞分裂成两个细胞，两个细胞分裂成四个细胞，四个细胞分裂成八个细胞…… 2．我国古代数学家提出：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。” 3．银行有一种支付利息的方式叫作“复利”，也就是“利滚利”，其计算本利和的公式是“本利和=本金×(1+利率)存期”。现存入银行1万元，年利率是1．98％，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是多少? 问题：请同学写出上述3个实例中所含有的数列。 学生给出结果，教师板书： 1．细胞分裂个数所组成的数列：1，2，4，8，… 2．把“一尺之锤”看成单位“1”，得到数列：1，1/2，1/4，1/8，… 3．各年末本利和所组成的数列：10 000×(1+0．0198)，10 000×(1+0．0198)2，10 000×(1+0．0198)3，10 000×(1+0．0198)4，10 000×(1+0．0198)5。 问题：回忆等差数列的概念，观察上面所写出的数列，他们有什么共同点? 教师引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论。共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。 【设计意图】通过写出生活实例中的数列，使学生感受等比数列的现实生活意义，理解等比数列的结构性质；对等差数列的回忆，引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系。 二、新课讲授 教师引导学生依照等差数列的定义，尝试总结出等比数列的定义。 教师总结等比数列的定义：一般地，如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列。这个常数叫作等比数列的公比，用字母q表示。 教师出示下列数列，让学生判断是否为等比数列，若是，找出公比；若不是，说明理由。 数列：1，3，9，27，… -1，-1/2，-1/4，-1/8，… 1，-2，4，-8，… -1，-1，-1，-1，… 1，0，1，0，… 问题：①公比q能为0吗?为什么?首项能为0吗? ②公比q能为1吗?为什么?是什么数列? 学生交流讨论，教师指导总结。 问题：根据等比数列的定义能发现怎样的递推公式? 教师根据等差数列的递推公式，引导学生得出：an/an-1=q。 问题；我们已经学过了等差数列的通项公式，请同学们尝试根据递推公式写出等比数列的通项公式。 教师巡视，并让学生小组交流讨论，引导学生由叠加法联想到叠乘法，使等式左、右两边都相乘消去其余项得到通项公式，即 叠乘法：a2/a1=q， a3/a2=q， a4/a3=q， … an-1/an-2=q， an/an-1=q。 两边叠乘得到：an/a1=qn-1，所以等比数列的通项公式为an=a1qn-1，当n=1时，通项公式也成立。 问题：设αn-1，an，an+1是等比数列，则αn-1，an，an+1之间有怎样的关系? 教师引导学生利用等比数列的通项公式来推导出an2=an-1·an+1。然后给出等比中项的定义。 【设计意图】让学生类比等差数列通项公式的推导过程，推导出等比数列的通项公式，强化学生自主学习和归纳推理的能力，向其渗透类比的数学思想；通过对等比中项公式的推导，加深学生对通项公式的理解，进而获得等比数列的相关性质。
解析
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