等比数列是高中数列学习的重要内容之一。它与我们日常生活、生产和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在资产折旧、贷款利率的计算等方面。针对“等比数列”的教学，请完成下面的任务：根据拟定的教学目标，设计一个探索、发现等比数列及通项公式的教学过程，并说明设计意图

admin2022-08-12 59

问题等比数列是高中数列学习的重要内容之一。它与我们日常生活、生产和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在资产折旧、贷款利率的计算等方面。针对“等比数列”的教学，请完成下面的任务：
根据拟定的教学目标，设计一个探索、发现等比数列及通项公式的教学过程，并说明设计意图。

选项

答案教学过程一、创设情境教师出示以下实例： 1．人体中的某种细胞经过细胞分裂可以由一个细胞分裂成两个细胞，两个细胞分裂成四个细胞，四个细胞分裂成八个细胞…… 2．我国古代数学家提出：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。” 3．银行有一种支付利息的方式叫作“复利”，也就是“利滚利”，其计算本利和的公式是“本利和=本金×(1+利率)^存期”。现存入银行1万元，年利率是1．98％，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是多少? 问题：请同学写出上述3个实例中所含有的数列。学生给出结果，教师板书： 1．细胞分裂个数所组成的数列：1，2，4，8，… 2．把“一尺之锤”看成单位“1”，得到数列：1，1/2，1/4，1/8，… 3．各年末本利和所组成的数列：10 000×(1+0．0198)，10 000×(1+0．0198)²，10 000×(1+0．0198)³，10 000×(1+0．0198)⁴，10 000×(1+0．0198)⁵。问题：回忆等差数列的概念，观察上面所写出的数列，他们有什么共同点? 教师引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论。共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。【设计意图】通过写出生活实例中的数列，使学生感受等比数列的现实生活意义，理解等比数列的结构性质；对等差数列的回忆，引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系。二、新课讲授教师引导学生依照等差数列的定义，尝试总结出等比数列的定义。教师总结等比数列的定义：一般地，如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列。这个常数叫作等比数列的公比，用字母q表示。教师出示下列数列，让学生判断是否为等比数列，若是，找出公比；若不是，说明理由。数列：1，3，9，27，… -1，-1/2，-1/4，-1/8，… 1，-2，4，-8，… -1，-1，-1，-1，… 1，0，1，0，… 问题：①公比q能为0吗?为什么?首项能为0吗? ②公比q能为1吗?为什么?是什么数列? 学生交流讨论，教师指导总结。问题：根据等比数列的定义能发现怎样的递推公式? 教师根据等差数列的递推公式，引导学生得出：a_n/a_n-1=q。问题；我们已经学过了等差数列的通项公式，请同学们尝试根据递推公式写出等比数列的通项公式。教师巡视，并让学生小组交流讨论，引导学生由叠加法联想到叠乘法，使等式左、右两边都相乘消去其余项得到通项公式，即叠乘法：a₂/a₁=q， a₃/a₂=q， a₄/a₃=q， … a_n-1/a_n-2=q， a_n/a_n-1=q。两边叠乘得到：a_n/a₁=q^n-1，所以等比数列的通项公式为a_n=a₁q^n-1，当n=1时，通项公式也成立。问题：设α_n-1，a_n，a_n+1是等比数列，则α_n-1，a_n，a_n+1之间有怎样的关系? 教师引导学生利用等比数列的通项公式来推导出a_n²=a_n-1·a_n+1。然后给出等比中项的定义。【设计意图】让学生类比等差数列通项公式的推导过程，推导出等比数列的通项公式，强化学生自主学习和归纳推理的能力，向其渗透类比的数学思想；通过对等比中项公式的推导，加深学生对通项公式的理解，进而获得等比数列的相关性质。

解析

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