设f(x)是连续函数，且，则[ ]．

admin2014-11-07 27

问题设f(x)是连续函数，且

，则[ ]．

选项 A、当x∈(－1，1)时，f(x)＞0
B、当x∈(－1，1)时，f(x)＜0
C、在(－1，1)内f(x)至少有一个零点
D、A、B、C均不正确

答案C

解析由积分中值定理，存在ξ₁∈[－1，0]使得

xf(x)dx＝ξ₁f(ξ₁)，
因

xf(x)dx＞0，，所以，ξ₁≠0，所以存在ξ₁∈[－1，0)使得

xf(x)dx＝ξ₁f(ξ₁)＞0，
于是得f(ξ₁)＜0．同理存在ξ₂∈(0，1]使f(ξ₂)＞0，由连续函数的零点存在定理得存在η∈(ξ₁，ξ₂)使得f(η)＝0．
故选C．

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