2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明： (I)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝g〞(ξ)．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明： (I)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝g〞(ξ)．

admin2012-05-15  31
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：
(I)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝g(η)；
(Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝g〞(ξ)．
选项
答案(I)设f(x)，g(x)在(a，b)内某点c∈(a，b)同时取得最大值，则f(c)＝g(c)，此时的c就是所求点η，使得f(η)＝g(η)，若两个函数取得最大值的点不同，则可设f(c)＝maxf(x)，g(d)＝maxg(x)，故有f(c)－g(c)＞0，f(d)－g(d)＜0， 由介值定理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在η，使得f(η)＝g(η)． (Ⅱ)由罗尔定理在区间(a，η)、(η，b)内分别存在一点ξ1，ξ2， 使得fˊ(ξ1)＝gˊ(ξ1)，fˊ(ξ2)＝gˊ(ξ2)．在区间(ξ1，ξ2)内再用罗尔定理，即存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝g〞(ξ)．
解析
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考研数学三

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