求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值.

admin2011-11-19  58

问题 求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值.

选项

答案x(x,y)=4x3-2x-2y,z〞xx=12x2-2,zˊxy=-2 zˊy(x,y)=4y3-2x-2y,z〞yy=12y2-2 令zˊx=0,zˊy=0得到驻点(-1,-1)(1,1),(0,0). 记A=z〞xx,B=z〞xy,C=z〞yy. 在(-1,-1)处有: A=z〞xx(-1,-1)=10,B=z〞xy(-1,-1)=-2,C=z〞yy(-1,-1)=10 故B2-AC<0,所以点(-1,-1)是极小值点,极小值z(-1,1)=-2. 在(1,1)处,A=z〞xx(1,1)=10,B=z〞xy(1,1)=-2,C=z〞yy(1,1)=10 故B2-AC<0,所以点(1,1)是极小值点,极小值z(1,1)=-2 在(0,0)处,B2-AC=0,故无法确定,只能用别的方法作出判别. 若y=x,则z=2x4-x2-2x2-x2=2x2(x2-2) 在(x,y)=(0,O)附近,2x2(x2-2)<0=z(0,0) 若y=-z,则z=2x4-x2+2x2-x2=2x4>0=z(0,0) 故(0,0)点不是极值点.

解析
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