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设α1,α2,…,αm-1(m≥3)线性相关,向量组α2,…,αm线性无关,试讨论 α1能否由α2,α3,…,αm-1线性表示?
设α1,α2,…,αm-1(m≥3)线性相关,向量组α2,…,αm线性无关,试讨论 α1能否由α2,α3,…,αm-1线性表示?
admin
2011-10-28
118
问题
设α
1
,α
2
,…,α
m-1
(m≥3)线性相关,向量组α
2
,…,α
m
线性无关,试讨论
α
1
能否由α
2
,α
3
,…,α
m-1
线性表示?
选项
答案
方法一:因为α
2
,α
3
,…,α
m
线性无关,所以α
2
,α
3
,…,α
m-1
也线性无关;又因为α
1
,α
2
,…,α
m-1
(m≥3)线性相关,所以α
1
能由α
2
,α
3
,…,α
m-1
线性表示. 方法二:因为α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性相关,故存在不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
m-1
使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
=θ, 其中必有k
1
≠0;否则,若k
1
=0,则k
2
,k
3
,…,k
m-1
不全为零,使得 k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
=θ 成立,从而α
2
,α
3
,…,α
m-1
线性相关,进而α
2
,…,α
m
线性相关,与已知矛盾,故k
1
≠0,α
1
=-(k
2
/k
1
)α
2
-…-(k
m-1
/k
1
)α
m-1
,所以α
1
能由α
2
,α
3
,…,α
m-1
线性表示.
解析
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考研数学三
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