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设α1，α2，…，αm-1(m≥3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论 α1能否由α2，α3，…，αm-1线性表示?
设α1，α2，…，αm-1(m≥3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论 α1能否由α2，α3，…，αm-1线性表示?
admin
2011-10-28
77
问题
设α
1
，α
2
，…，α
m-1
(m≥3)线性相关，向量组α
2
，…，α
m
线性无关，试讨论
α
1
能否由α
2
，α
3
，…，α
m-1
线性表示?
选项
答案
方法一：因为α
2
，α
3
，…，α
m
线性无关，所以α
2
，α
3
，…，α
m-1
也线性无关；又因为α
1
，α
2
，…，α
m-1
(m≥3)线性相关，所以α
1
能由α
2
，α
3
，…，α
m-1
线性表示． 方法二：因为α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性相关，故存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
m-1
使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
=θ， 其中必有k
1
≠0；否则，若k
1
=0，则k
2
，k
3
，…，k
m-1
不全为零，使得 k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
=θ 成立，从而α
2
，α
3
，…，α
m-1
线性相关，进而α
2
，…，α
m
线性相关，与已知矛盾，故k
1
≠0，α
1
=-(k
2
/k
1
)α
2
-…-(k
m-1
/k
1
)α
m-1
，所以α
1
能由α
2
，α
3
，…，α
m-1
线性表示．
解析
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0
考研数学三
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