设α1，α2，…，αm-1(m≥3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论 α1能否由α2，α3，…，αm-1线性表示?

admin2011-10-28 130

问题设α₁，α₂，…，α_m-1(m≥3)线性相关，向量组α₂，…，α_m线性无关，试讨论
α₁能否由α₂，α₃，…，α_m-1线性表示?

选项

答案方法一：因为α₂，α₃，…，α_m线性无关，所以α₂，α₃，…，α_m-1也线性无关；又因为α₁，α₂，…，α_m-1 (m≥3)线性相关，所以α₁能由α₂，α₃，…，α_m-1线性表示．方法二：因为α₁，α₂，…，α_m-1线性相关，故存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_m-1使得 k₁α₁+k₂α₂+…+k_m-1α_m-1=θ，其中必有k₁≠0；否则，若k₁=0，则k₂，k₃，…，k_m-1不全为零，使得 k₂α₂+…+k_m-1α_m-1=θ 成立，从而α₂，α₃，…，α_m-1线性相关，进而α₂，…，α_m线性相关，与已知矛盾，故k₁≠0，α₁=-(k₂/k₁)α₂-…-(k_m-1/k₁)α_m-1，所以α₁能由α₂，α₃，…，α_m-1线性表示．

解析

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考研数学三

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