设当x≥0时f(x)有一阶连续导数，且满足 f(x)=一1+x+2∫0x(x一t)f(t)f’(t)dt，求f(x)．

admin2017-10-23 38

问题设当x≥0时f(x)有一阶连续导数，且满足
f(x)=一1+x+2∫₀^x(x一t)f(t)f’(t)dt，求f(x)．

选项

答案在原方程中，令x=0，得f(0)=一1．将原方程化为 f(x)=一1+x+2x∫₀^xf(t)f’(t)dt一2∫₀^xtf(t)f’(t)dt，上式两边对x求导得 f’(x)=1+2∫₀^xf(t)f’(t)dt+2xf(x)f’(x)一2xf(x)f’(x)=1+2∫₀^xf(t)f’(t)dt．从而有 f’(x)=1+2∫₀^xf(t)f’(t)dt=1+∫₀^xd[f²(t)]=1+f²(x)一f²(0)=f²(x)． [*]

解析

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考研数学三

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