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求下列欧拉方程的通解: (1)x2y〞+3xyˊ+y=0; (2)x2y〞-4xyˊ+6y=x; (3)y〞-yˊ/x+y/xx=2/x; (4)x3y〞ˊ+3x2y〞-2xyˊ+2y=0; (5)x2y〞+xyˊ-4y=x3; (6)x
求下列欧拉方程的通解: (1)x2y〞+3xyˊ+y=0; (2)x2y〞-4xyˊ+6y=x; (3)y〞-yˊ/x+y/xx=2/x; (4)x3y〞ˊ+3x2y〞-2xyˊ+2y=0; (5)x2y〞+xyˊ-4y=x3; (6)x
admin
2011-11-19
143
问题
求下列欧拉方程的通解:
(1)x
2
y〞+3xyˊ+y=0; (2)x
2
y〞-4xyˊ+6y=x;
(3)y〞-yˊ/x+y/x
x
=2/x; (4)x
3
y〞ˊ+3x
2
y〞-2xyˊ+2y=0;
(5)x
2
y〞+xyˊ-4y=x
3
; (6)x
2
y〞-xyˊ+4y=xsin(1nx).
选项
答案
(1)令x=e
t
或t=lnx作变换代人原方程(D
2
+2D+1)y=0,特征方程为r
2
+2r+1=0,r=-1,所以y(t)=(C
1
+C
2
t)e,所以y(x)=(C
1
+C
2
lnx)×1/x. (2)用t=lnx作代换.原方程化为 (D
2
-5D+6)y=e
t
, ① 对应齐次方程的特征方程为r
2
-5r+6=0,r
1
=2,r
2
=3.齐次方程通解为y(t)=C
1
e
2t
+C
2
e
3t
f(t)=e
t
,r=1不是特征方程的根. 所以特解形式y
*
=ae
t
代人①得a=1/2,所以特解为y
*
=1/2e
t
, 从而①式通解为y(t)=1/2e
t
+C
1
e
2t
+C
2
e
3t
, 所以原方程通解为y(x)=1/2x+C
1
x
2
+C
2
x
3
. (3)方程两边同乘x
2
,得x
2
y〞-xyˊ+y=2x,用x=e
t
作代换得 (D
2
-2D+1)y=2e
t
, ① 对应齐次方程的特征方程为r
2
-2r+1=0,r=1,齐次方程通解为y(t)=(C
1
+C
2
t)e
t
,f(t)=2e
t
, 所以特解形式为 y
*(t)=t
t
×a×e
t
.代入①得a=1,所以y
*
(t)=t
2
e
t
,从而①式通解为y (t)=t
2
e
t
+(C
1
+C
2
t)e
t
. 所以原方程通解为y(x)=x[(1nx)
2
+(C
1
+C
2
lnx)], y(x)=x(ln
2
x+C
1
+C
2
lnx). (4)用x=e
t
作代换得(D
3
-3D+2)y=0,特征方程为r
3
-3r+2=0,得特征根r
1
=r
2
=1,r
2
=-2,所以①式方程通解为y(t)=(C
1
+C
2
t)e
t
+C
3
e
2t
,所以原方程通解为y(x)=x×(C
1
+C
2
lnx)+C
3
e
-2
. (5)用x=e
t
或t=lnx作代换得(D
2
-4)y=e
3t
, ① 对应齐次方程的特征方程为r
2
-4=0,所以特征根为y,r
1
=2,r
2
=-2,齐次方程通解为y(t)=C
1
e
2t
+C
2
e
-2t
,特解形式为y
*
(t)=ae
3t
,代入①式得a=1/5. 所以①式方程通解为y(t)=1/5e
3t
+C
1
e
2t
+C
2
e
-2t
,所以原方程通解为y(x)=1/5x
3
+C
1
x
2
+C
2
x
-2
. (6)用x=e
t
作代换得(D
2
-2D+4)y=e
t
sint, ① [*]
解析
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考研数学三
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