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  3. 对于问题：“已知函数f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，对于任何x∈[0，1]，有 ｜f’(x)｜≤｜f(x)｜，求证f(x)=0，x∈[0，1]。”有人是这样做的： ｜f

对于问题：“已知函数f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，对于任何x∈[0，1]，有 ｜f’(x)｜≤｜f(x)｜，求证f(x)=0，x∈[0，1]。”有人是这样做的： ｜f

admin2022-08-04  16
问题 对于问题：“已知函数f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，对于任何x∈[0，1]，有
    ｜f’(x)｜≤｜f(x)｜，求证f(x)=0，x∈[0，1]。”有人是这样做的：
    ｜f1)｜(x-0)(0＜ξ1＜x)①，
    ｜f’(ξ1)｜x≤｜f(ξ1)｜x②，
    ｜f(ξ1)-f(0)｜x=｜f’(ξ2)｜ξ1x≤｜f’(ξ2)｜x2≤｜f(ξ2)｜x2(0＜ξ2＜ξ1＜x)③，
    ｜f(ξ2)-f(0)｜x2=｜f’(ξ3)｜ξ2x2≤｜f’(ξ3)｜x3≤｜f(ξ3)｜x3(0＜ξ3＜ξ2＜ξ1＜x)④。
    请你解答下列问题：
    (1)写出步骤①的证明依据；
    (2)写出步骤②的证明依据；
    (3)指出步骤③与步骤①的关系；
    (4)完成步骤④以后的证明。
选项
答案(1)步骤①的证明依据是拉格朗日中值定理。因为f(x)在[0，1]上可导，所以由拉格朗日中值定理可知，[*]ξ1∈(0，x)[*](0，1)，有｜f(x)-f(0)｜=｜f’(ξ1)｜x。 (2)步骤②的证明依据是题中所给条件，[*]∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤｜f(x)｜。 (3)步骤①是在区间(0，x)上使用拉格朗口中值定理，步骤③是在缩小的区间(0，ξ1)上继续使用拉格朗日中值定理。 (4)将上述过程不断地进行下去，可得 ｜f(ξn-1-f(0)｜xn-1=｜f’(ξn)｜ξn-1xn-1≤｜f’(ξn)｜xn≤｜f(ξn)｜xn(0＜ξn＜ξn-1＜…＜ξ2＜ν1＜x)， 所以 ｜f(x)｜=｜f(x)-f(0)｜≤｜f(ξ1)｜x≤｜f(ξ2)｜x2≤…≤｜f(ξn)｜xn(0＜ξn＜ξn-1＜…＜ξ2＜ξ1＜x)。 因为函数f(x)在[0，1]上可导，所以函数f(x)在[0，1]上连续，从而函数f(x)在[0，1]上有界，即[*]M∈R，对[*]∈[0，1]，有｜f(x)｜≤M。当x∈[0，1)时，0≤｜f(x)｜[*]，即，f(x)=0，再根据函数连续性可得，f(1)=[*]=0，所以f(x)=0，x∈[0，1]。
解析
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