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某乡政府打算在距离甲、乙两村分别600米和1400米的公路旁修自来水厂,使甲、乙两村用上自来水.现用每米5元的水管从自来水厂向两村铺设输水管道,若甲、乙两村相距1700米,要使费用最低,自来水厂应建在何处?此时自来水厂距离两村分别多远?最低费用为多少万元?
某乡政府打算在距离甲、乙两村分别600米和1400米的公路旁修自来水厂,使甲、乙两村用上自来水.现用每米5元的水管从自来水厂向两村铺设输水管道,若甲、乙两村相距1700米,要使费用最低,自来水厂应建在何处?此时自来水厂距离两村分别多远?最低费用为多少万元?
admin
2015-11-17
7
问题
某乡政府打算在距离甲、乙两村分别600米和1400米的公路旁修自来水厂,使甲、乙两村用上自来水.现用每米5元的水管从自来水厂向两村铺设输水管道,若甲、乙两村相距1700米,要使费用最低,自来水厂应建在何处?此时自来水厂距离两村分别多远?最低费用为多少万元?请画出确定自来水厂位置的简图.(甲、乙两村在公路同侧,且两村的面积和马路的宽度均忽略不计)
选项
答案
将甲、乙两村视为A、B两点,公路视为直线l. 如图所示,以l为对称轴,作A的对称点A’,连接A’B交l于点C,即为自来水厂的位置.根据两点之间线段最短可知,此时费用最低. 连接AA’交l于D,连接AB,过点B作直线l’⊥l交l于E,AF⊥l’交l’于F,A’G⊥l’交l’于G,所以Rt△ADC≌Rt△A’DC. 因为AB=1700米,AD=600米,BE=1400米, 所以BF=BE一EF=BE—AD=800米, A’G=AF=[*]=1500米, 因为BG=BE+EG=BE+EF=BE+AD=2000米, 所以AC+BC=A’C+BC=A’B=[*]=2500米, 总费用为 [*]=1.25万元. △BCE∽△BA’G, 所以[*]×1400=1750米, 所以AC=A’C=BA’一BC=2500—1750=750米. 即自来水厂距离甲村750米.距离乙村1750米时费用最低,为1.25万元. [*]
解析
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