求微分方程y〞ˊ－yˊ＝0的一条积分曲线，使此积分曲线在原点处有拐点，且以直线y＝2x为切线．

admin2013-06-04 39

问题求微分方程y〞ˊ－yˊ＝0的一条积分曲线，使此积分曲线在原点处有拐点，且以直线y＝2x为切线．

选项

答案设曲线方程为y＝y(x)，曲线过原点y｜_x＝0＝0，原点是曲线拐点，y〞｜_x＝0＝0，在原点处切线为y＝2x，yˊ｜_x＝0＝2．令P＝yˊ，则原方程化为p〞－P＝0，特征方程为r²－1＝0，r₁＝1，r₂＝－1，通解为P＝C₁e^x＋C₂e^－x，两边积分y＝C₁e^x一C₂e^－x＋C₃， y｜_x＝0＝0，C₁－C₂＋C₃＝0， ① yˊ｜_x＝0＝2，C₁＋C₂＝2， ② y〞｜_x＝0＝0，C₁－C₂＝0， ③ 联立①②③解得C₁＝C₂＝1，C₃＝0，所求曲线方程为y＝e^x－e^－x．

解析

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考研数学三

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