设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 ( )

admin2015-07-22 21

问题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 ( )

选项 A、AE-A=λE-B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似

答案D

解析 A与B相似，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则
tB一B=tE一P^-1AP=P^-1(tE)P—P^-1AP^-1(tE一A)P，即tE一A与tE一B相似，选(D)．对于(A)：λE一A=λE一B

A=B；对于(B)；A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A与B不一定能够相似对角化．

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