已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.

admin2017-10-25  33

问题 已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.

选项

答案由条件知f’x(x,y)=1+y,f’y(x,y)=1+x,于是梯度为 gradf(x,y)=f’x.i+f’y.j=(1+y)i+(1+x)j, 由梯度与方向导数[*]的关系,知 [*] 于是问题转化为求函数H(x,y)=[*]在约束条件C:x2+y2+xy=3下的最大值. 为计算方便可将问题转化为求函数T(x,y)=H2(x,y)=(1+y)2+(1+x)2在条件C:x2+y2+xy=3 下的最大值,于是由拉格朗日乘法,令 F(x,y,λ)=(1+y)2+(1+x)2+λ(x2+y2+xy-3). 则 [*] 解得 [*] 于是得下列可疑点:A1(1,1),A2(-1,-1),A3(2,-1),A4(-1,2). 所求最大值为 max{H(1,1),H(-1,-1),H(2,-1),H(-1,2))=max{[*],0,3,3}=3. 故f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3.

解析 先求函数f(x,y)在点(x,y)处的梯度gradf(x,y),再求梯度的模|gradf(x,y)|;最后求
gradf(x,y)在约束条件C:x2+y2+xy=3下的最大值.
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