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  3. 已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．

已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．

admin2017-10-25  89
问题 已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．
选项
答案由条件知f’x(x，y)=1+y，f’y(x，y)=1+x，于是梯度为 gradf(x，y)=f’x.i+f’y.j=(1+y)i+(1+x)j， 由梯度与方向导数[*]的关系，知 [*] 于是问题转化为求函数H(x，y)=[*]在约束条件C：x2+y2+xy=3下的最大值． 为计算方便可将问题转化为求函数T(x，y)=H2(x，y)=(1+y)2+(1+x)2在条件C：x2+y2+xy=3 下的最大值，于是由拉格朗日乘法，令 F(x，y，λ)=(1+y)2+(1+x)2+λ(x2+y2+xy-3)． 则 [*] 解得 [*] 于是得下列可疑点：A1(1，1)，A2(-1，-1)，A3(2，-1)，A4(-1，2)． 所求最大值为 max{H(1，1)，H(-1，-1)，H(2，-1)，H(-1，2))=max{[*]，0，3，3}=3． 故f(x，y)在曲线C上的最大方向导数为3．
解析 先求函数f(x，y)在点(x，y)处的梯度gradf(x，y)，再求梯度的模｜gradf(x，y)｜；最后求
gradf(x，y)在约束条件C：x2+y2+xy=3下的最大值．
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考研数学一

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