试用聚点定理证明柯西收敛准则．

admin2022-11-23 38

问题试用聚点定理证明柯西收敛准则．

选项

答案先证数列{a_n}有界．取ε=1，[*]N∈N₊，当n＞N时取m=N+1，则有｜a_n-a_N+1｜＜1，即a_N+1-1＜a_n＜a_N+1+1．令 M=max{｜a₁｜，｜a₂｜，…，｜a_N｜，｜a_N+1-1｜，｜a_N+1+1｜}，则对[*]n∈N₊，有｜a_n｜≤M．由聚点定理知，有界数列{a_n}存在收敛的子列[*] 再证数列{a_n}收敛于a． [*]

解析

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