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设f在[a,+∞)上连续,且f(x)存在.证明:f在[a,+∞)上有界.又问f在[a,+∞)上必有最大值或最小值吗?
设f在[a,+∞)上连续,且f(x)存在.证明:f在[a,+∞)上有界.又问f在[a,+∞)上必有最大值或最小值吗?
admin
2022-10-31
54
问题
设f在[a,+∞)上连续,且
f(x)存在.证明:f在[a,+∞)上有界.又问f在[a,+∞)上必有最大值或最小值吗?
选项
答案
(1)设[*]f(x)=A,则对ε=1,存在正数x>a,使得当x>X时.有|f(x)-A|<ε=1. 于是,当x>X时,有|f(x)|<|A|+1.又f在[a,+∞)上连续,所以f在闭区间[a,X]上也连续.根据连续函数的有界性知,存在G>0,使得当x∈[a,X]时有|f(x)|<G.于是对一切x∈[a,+∞),|f(x)|<max{C,|A|+1},即f在[a,+∞)上有界. (2)(ⅰ)若[*]x
0
∈[a,+∞),使得f(x
0
)=B>A.则知存在正数X
1
>a,使得当x>X
1
时有|f(x)-A|<[*],从而当x>X
1
时,f(x)<[*]<B.又f(x)在[a,X
1
]上连续.从而知f(x)在[a,X
1
]上存在最大值.即[*]x
1
∈[a,X
1
],使得f(x)≤f(x
1
),[*]x∈[a,X
1
],且f(x
1
)≥B.从而f(x
1
)也是f(x)在[a,+∞)上的最大值. (ⅱ)若[*]x
0
∈[a,+∞),使得f(x
0
)=C<A,则知存在正数X
2
>a,使得当x>X
2
时有|f(x)-A|<[*].从而当x>X
2
时,f(x)>[*]>C.又f(x)在[a,X
2
]上连续,从而f(x)在[a,X
2
]上存在最小值.即[*]x
2
∈[a,X
2
],使得f(x)≥f(x
2
),[*]x∈[a,X
2
].且f(x
2
)≤C,从而f(x
2
)也是f(x)在[a,+∞)上的最小值. (ⅲ)f(x)≡A时,则f(x)在[a,+∞)既取得最大值,也取得最小值,均为A.
解析
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考研数学一
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