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(2008年)设函数f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数,且在(0,+∞)内有f’(x)>0,f’’(x)>0,则在(-∞,0)内必有( )。
(2008年)设函数f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数,且在(0,+∞)内有f’(x)>0,f’’(x)>0,则在(-∞,0)内必有( )。
admin
2014-08-29
31
问题
(2008年)设函数f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数,且在(0,+∞)内有f’(x)>0,f’’(x)>0,则在(-∞,0)内必有( )。
选项
A、f’(x)>0,f’(x)>0
B、f’(x)<0,f’(x)>0
C、f’(x)>0,f’’(x)<0
D、f’(x)<0,f’(x)<0
答案
B
解析
该题有两种解法。 方法一:当f(x)在(-∞,+∞)上一阶和二阶导数存在时,若f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数, 则f’(x)在(-∞,+∞)上是奇函数, 且f’’(x)在(-∞,+∞)上是偶函数;再由在(0,+∞)内有f’(x)>0,f’(x)>0,利用上述对称性,故在(-∞,0)内必有f’(x)<0,f’(x)>0。 方法二:函数f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数,其图形关于y对称,由于在(0,+∞)内有f’(x)>0,f’(x)>0,f(x)单调增加,其图形为凹的;故在(-∞,0)内,f(x)应单调减少,且图形仍为凹的,所以有f’(x)<0,f"(x)>0。
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