设n维列向量组α1,…,αm(m<n)线性无关,则,z维列向量组β1,…,βm线性无关的充分必要条件为 【 】

admin2016-03-26  30

问题 设n维列向量组α1,…,αm(m<n)线性无关,则,z维列向量组β1,…,βm线性无关的充分必要条件为    【    】

选项 A、向量组α1,…,αm可由向量组β1,…,βm线性表示.
B、向量组β1,…,βm可由向量组α1,…,αm线性表示.
C、向量组α1,…,αm与向量组β1,…,βm等价.
D、矩阵A=[α1  …  αm]与矩阵B=[β1  …  βm]等价.

答案D

解析 当A=[α1  …  αm]与B=[β1  …  βm]等价时,A与B有相同的秩,由已知条件知A的秩为m,故B的秩亦为m,即β1,…,βm线性无关;若β1,…,βm线性无关,则矩阵A与B有相同的秩m,A与B又都是n×m矩阵,故A与B有相同的秩标准形(矩阵)P,于是A与P等价,B也与P等价,由等价的性质即知A与B等价.综上可知(D)正确.
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