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设f(x)在(—∞,+∞)内一阶可导,求证: (Ⅰ) 若f(x)在(—∞,+∞)是凹函数,则; (Ⅱ) 若f(x)在(—∞,+∞)内二阶可导,又存在极限,则存在ξ∈(—∞,+∞),使得f"(ξ)=0.
设f(x)在(—∞,+∞)内一阶可导,求证: (Ⅰ) 若f(x)在(—∞,+∞)是凹函数,则; (Ⅱ) 若f(x)在(—∞,+∞)内二阶可导,又存在极限,则存在ξ∈(—∞,+∞),使得f"(ξ)=0.
admin
2015-04-30
69
问题
设f(x)在(—∞,+∞)内一阶可导,求证:
(Ⅰ) 若f(x)在(—∞,+∞)是凹函数,则
;
(Ⅱ) 若f(x)在(—∞,+∞)内二阶可导,又存在极限
,则存在ξ∈(—∞,+∞),使得f"(ξ)=0.
选项
答案
(Ⅰ) 由f’(x)≠0→存在x
0
∈(一∞,+∞),f’(x
0
)>0或f’(x
0
)<0. 由凹性→’ [*] Ⅱ 反证法.若结论不成立,则[*]x∈(一∞,+∞),f"(x)>0或f"(x)<0. 若f"(x)>0([*]x)→y=f(x)在(一∞,+∞)为凹函数,由题(Ⅰ)→[*]=+∞或[*]=+∞,与已知矛盾. 若f"(x)<0([*]x)→y=一f(x)在(一∞,+∞)为凹函数,同样得矛盾. 因此,存在ξ∈(一∞,+∞),使得f"(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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