2. 考研
  3. 设f(x)在(—∞，+∞)内一阶可导，求证： (Ⅰ) 若f(x)在(—∞，+∞)是凹函数，则； (Ⅱ) 若f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导，又存在极限，则存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．

设f(x)在(—∞，+∞)内一阶可导，求证： (Ⅰ) 若f(x)在(—∞，+∞)是凹函数，则； (Ⅱ) 若f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导，又存在极限，则存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．

admin2015-04-30  56
问题 设f(x)在(—∞，+∞)内一阶可导，求证：
(Ⅰ)  若f(x)在(—∞，+∞)是凹函数，则；
(Ⅱ) 若f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导，又存在极限，则存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．
选项
答案(Ⅰ) 由f’(x)≠0→存在x0∈(一∞，+∞)，f’(x0)＞0或f’(x0)＜0． 由凹性→’ [*] Ⅱ 反证法．若结论不成立，则[*]x∈(一∞，+∞)，f"(x)＞0或f"(x)＜0． 若f"(x)＞0([*]x)→y=f(x)在(一∞，+∞)为凹函数，由题(Ⅰ)→[*]=+∞或[*]=+∞，与已知矛盾． 若f"(x)＜0([*]x)→y=一f(x)在(一∞，+∞)为凹函数，同样得矛盾． 因此，存在ξ∈(一∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．
解析
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考研数学二

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