设f(x)在(—∞，+∞)内一阶可导，求证： (Ⅰ) 若f(x)在(—∞，+∞)是凹函数，则； (Ⅱ) 若f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导，又存在极限，则存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．

admin2015-04-30 51

问题设f(x)在(—∞，+∞)内一阶可导，求证：
(Ⅰ) 若f(x)在(—∞，+∞)是凹函数，则

；
(Ⅱ) 若f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导，又存在极限

，则存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．

选项

答案(Ⅰ) 由f’(x)≠0→存在x₀∈(一∞，+∞)，f’(x₀)＞0或f’(x₀)＜0．由凹性→’ [*] Ⅱ 反证法．若结论不成立，则[*]x∈(一∞，+∞)，f"(x)＞0或f"(x)＜0．若f"(x)＞0([*]x)→y=f(x)在(一∞，+∞)为凹函数，由题(Ⅰ)→[*]=+∞或[*]=+∞，与已知矛盾．若f"(x)＜0([*]x)→y=一f(x)在(一∞，+∞)为凹函数，同样得矛盾．因此，存在ξ∈(一∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．

解析

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考研数学二

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设f(x)在(—∞，+∞)内一阶可导，求证： (Ⅰ) 若f(x)在(—∞，+∞)是凹函数，则； (Ⅱ) 若f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导，又存在极限，则存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．

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