假设三个直角坐标面都镶上了反射镜，并将一束激光沿向量a＝(ax，ay，ax)的方向射向xOy平面，试用反射定律证明：反射光束的方向向量b＝(ax，－ay，az)；进而推出：入射光束经三个镜面连续反射后，最后所得的反射光束平行于入射光束．(航天工程师利用此原

admin2011-11-19 98

问题假设三个直角坐标面都镶上了反射镜，并将一束激光沿向量a＝(a_x，a_y，a_x)的方向射向xOy平面，试用反射定律证明：反射光束的方向向量b＝(a_x，－a_y，a_z)；进而推出：入射光束经三个镜面连续反射后，最后所得的反射光束平行于入射光束．(航天工程师利用此原理，在月球上安装了反射镜面组，并从地球向镜面发射激光束，从而精确测得了地球到月球的距离．)

选项

答案xOz平面的法向量为j，根据反射定律它与－a，b夹角的平分角向量平行，若｜b｜＝｜a｜，则－a，b夹角的平分角向量为－a＋b＝λj(实数λ≠0)，则b＝a＋λj＝(a_x，a_y＋λ，a_z)，由假设｜b｜＝｜a｜得(a_y＋λ)²＝a²y，故λ＝2a_y，即b＝(a_x，－a_y，a_z)．同理可知，该入射光束经xOy平面和yOz平面反射后的反射光束的方向向量分别为(a_x，a_y，－a_z)和(－a_x，a_y，a_z)．假设入射光束连续经xOy平面，yOz平面和zOx平面反射，若入射光束的方向向量为a＝ (a_x，a_y，a_z)，则由上面的结论可知经这三个镜面反射后的反射光束的方向向量依次为(a_x，a_y，－a_z)，(－a_x，a_y，－a_z)，(一a_x，一a_y，－a_z)，最后的反射光束的方向向量为(－a_x，－a_y，－a_z)＝－a，平行于入射光束．同理可得其他反射次序时，结论亦成立．

解析

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考研数学三

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