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设{fn}为[0,1]上的连续函数列,满足 fn(x)≤fn+1(x)≤0 (x∈[0,1]),n=1,2,…. 且fn(x)=0,证明{fn}在[0,1]上一致收敛.
设{fn}为[0,1]上的连续函数列,满足 fn(x)≤fn+1(x)≤0 (x∈[0,1]),n=1,2,…. 且fn(x)=0,证明{fn}在[0,1]上一致收敛.
admin
2022-11-23
30
问题
设{f
n
}为[0,1]上的连续函数列,满足
f
n
(x)≤f
n+1
(x)≤0 (x∈[0,1]),n=1,2,….
且
f
n
(x)=0,证明{f
n
}在[0,1]上一致收敛.
选项
答案
由[*]f
n
(x)=0知,对任意的ε>0,x∈[0,1],存在N(x)∈N
+
,有f
N(x)
(x)>-ε.又由{f
n
}为[0,1]上的连续函数列,故存在δ(x)>0,对任意的t∈U(x;δ(x)),有-ε<f
N(x)
(t)≤0.令G={U(x;δ(x)|x∈[0,1]},则G是[0,1]的一个开覆盖,由有限覆盖定理知,存在U(x
k
;δ(x
k
))∈G(k=1,2,…,m)使得[*]U(x
k
;δ(x
k
))[*][0,1].注意到对每一个t∈[0,1],{f
n
(t)}为单调递增数列,现令[*],则对任意的n>N,t∈[0,1].存在k∈{1,2,…,m},有t∈U(x
k
;δ(x
k
)),从而 -t<[*](t)≤f
N
(t)≤f
n
(t)≤0. 即{f
n
}在[0,1]上一致收敛于0.
解析
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考研数学二
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