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设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,fˊ(0)=0.证明:在[-1,1]内存在ξ,使得fˊˊˊ(ξ)=3.
设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,fˊ(0)=0.证明:在[-1,1]内存在ξ,使得fˊˊˊ(ξ)=3.
admin
2016-09-13
29
问题
设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,fˊ(0)=0.证明:在[-1,1]内存在ξ,使得fˊˊˊ(ξ)=3.
选项
答案
f(x)=f(x
0
)+fˊ(x
0
)(x-x
0
)+[*]fˊˊ(x
0
)(x-x
0
)
2
+[*]fˊˊˊ(η)(x-x
0
)
3
. 取x
0
=0,x=1代入, f(1)=f(0)+[*]fˊˊ(0)(1-0)
2
+[*]fˊˊˊ(η
1
)(1-0)
3
,η
1
∈(0,1). ① 取x
0
=0,x=-1代入, f(-1)=f(0)+[*]fˊˊ(0)(-1-0)
2
+[*]fˊˊˊ(η
2
)(-1-0)
3
,η
2
∈(-1,0). ② 由①-②有 f(1)-f(-1)=[*][fˊˊˊ(η
1
)+fˊˊˊ(η
2
)]=1-0. ③ 因为fˊˊˊ(x)在[-1,1]上连续,则存在m和M,使得[*]x∈[-1,1],有m≤fˊˊˊ(x)≤M, m≤fˊˊˊ(η
1
)≤M,m≤fˊˊˊ(η
2
)≤M=>m≤[*][fˊˊˊ(η
1
)+fˊˊˊ(η
2
)]≤M. ④ ③代入④式,有m≤3≤M,由介值定理,[*]ξ∈[-1,1],使得fˊˊˊ(ξ)=3.
解析
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考研数学三
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