设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,fˊ(0)=0.证明:在[-1,1]内存在ξ,使得fˊˊˊ(ξ)=3.

admin2016-09-13  35

问题 设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,fˊ(0)=0.证明:在[-1,1]内存在ξ,使得fˊˊˊ(ξ)=3.

选项

答案f(x)=f(x0)+fˊ(x0)(x-x0)+[*]fˊˊ(x0)(x-x0)2+[*]fˊˊˊ(η)(x-x0)3. 取x0=0,x=1代入, f(1)=f(0)+[*]fˊˊ(0)(1-0)2+[*]fˊˊˊ(η1)(1-0)3,η1∈(0,1). ① 取x0=0,x=-1代入, f(-1)=f(0)+[*]fˊˊ(0)(-1-0)2+[*]fˊˊˊ(η2)(-1-0)3,η2∈(-1,0). ② 由①-②有 f(1)-f(-1)=[*][fˊˊˊ(η1)+fˊˊˊ(η2)]=1-0. ③ 因为fˊˊˊ(x)在[-1,1]上连续,则存在m和M,使得[*]x∈[-1,1],有m≤fˊˊˊ(x)≤M, m≤fˊˊˊ(η1)≤M,m≤fˊˊˊ(η2)≤M=>m≤[*][fˊˊˊ(η1)+fˊˊˊ(η2)]≤M. ④ ③代入④式,有m≤3≤M,由介值定理,[*]ξ∈[-1,1],使得fˊˊˊ(ξ)=3.

解析
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