2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，fˊ(0)=0．证明：在[－1，1]内存在ξ，使得fˊˊˊ(ξ)=3．

设f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，fˊ(0)=0．证明：在[－1，1]内存在ξ，使得fˊˊˊ(ξ)=3．

admin2016-09-13  28
问题 设f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，fˊ(0)=0．证明：在[－1，1]内存在ξ，使得fˊˊˊ(ξ)=3．
选项
答案f(x)=f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)+[*]fˊˊ(x0)(x－x0)2+[*]fˊˊˊ(η)(x－x0)3． 取x0=0，x=1代入， f(1)=f(0)+[*]fˊˊ(0)(1－0)2+[*]fˊˊˊ(η1)(1－0)3，η1∈(0，1)． ① 取x0=0，x=－1代入， f(－1)=f(0)+[*]fˊˊ(0)(－1－0)2+[*]fˊˊˊ(η2)(－1－0)3，η2∈(－1，0)． ② 由①－②有 f(1)－f(－1)=[*][fˊˊˊ(η1)+fˊˊˊ(η2)]=1－0． ③ 因为fˊˊˊ(x)在[－1，1]上连续，则存在m和M，使得[*]x∈[－1，1]，有m≤fˊˊˊ(x)≤M， m≤fˊˊˊ(η1)≤M，m≤fˊˊˊ(η2)≤M=>m≤[*][fˊˊˊ(η1)+fˊˊˊ(η2)]≤M． ④ ③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，[*]ξ∈[－1，1]，使得fˊˊˊ(ξ)=3．
解析
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考研数学三

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