2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1．试证： 存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1．试证： 存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；

admin2013-01-23  117
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1．试证：
存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；
选项
答案令φ(x)=f(x)-x，则φ(x)在[0，1]上连续．又φ(1)=-1<0， φ(1/2)=1/2>0．由介值定理可知，存在η∈（1/2，1)，使得φ(η)=f(η)-η=0，即f(η)=η．
解析
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考研数学三

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