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  3. 可导函数y=f(x)由方程x3一3xy2+2y3=32所确定，试求f(x)的极大值与极小值．

可导函数y=f(x)由方程x3一3xy2+2y3=32所确定，试求f(x)的极大值与极小值．

admin2016-06-01  42
问题 可导函数y=f(x)由方程x3一3xy2+2y3=32所确定，试求f(x)的极大值与极小值．
选项
答案在方程两边同时胤求导，得到 3x2一3y2一6xyy’+6y2y’=3(x—y)(x+y一2yy’)=0 由于x=y不满足原来的方程，又y=f(x)是可导函数，因此， x-y≠0，x+y一2yy’=0 即[*]，得到x+y=0，与原二元方程联立求解可得x=一2，y=2．由 此可知，函数y=f(x)有唯一可能的极值点x=一2．又因为 [*] 因此，由函数取得极值的第二充分条件知，函数y=f(x)有唯一的极小值2，没有极大值．
解析 函数y=f(x)是由方程所确定的隐函数，可利用隐函数求导公式求出=0与原二元方程联立求解可得驻点，再用函数取得极值的第二充分条件判定．
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